Question

设A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂）两点在抛物线y=2x²上，l是AB的垂直平分线．
1）当且仅当x₁+x₂取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得抛物线的焦点坐标．先看直线l的斜率不存在时，显然x₁+x₂=0；看直线斜率存在时设斜率为k，截距为b，进而用A，B的坐标表示出线段AB的中点代入设的直线方程，及用A，B的坐标表示出直线的斜率，联立方程可分别求得x₁+x₂和x²₁+x²₂的表达式进而求得b的范围，判断即l的斜率存在时，不可能经过焦点F．最后综合可得结论．
（II）设直线l的方程为：y=2x+b，进而可得过直线AB的方程，代入抛物线方程，根据判别式大于0求得m的范围，进而根据AB的中点的坐标及b和m的关系求得b的范围．

解答：解：（Ⅰ）∵抛物线y=2x²，即x²=

y

2

，∴p=

1

4

，
∴焦点为F（0，

1

8

）
（1）直线l的斜率不存在时，显然有x₁+x₂=0
（2）直线l的斜率存在时，设为k，截距为b
即直线l：y=kx+b由已知得：

y1+y2 2 =k• x1+x2 2 +b y1-y2 x1-x2 =- 1 k

?

2x 2 1 + 2x 2 2 2 =k• x1+x2 2 +b 2x 2 1 - 2x 2 2 x1-x2 =- 1 k

?

x 2 1 + x 2 2 =k• x1+x2 2 +b x1+x2=- 1 2k

?x₁²+x₂²=-

1

4

+b≥0?b≥

1

4

．
即l的斜率存在时，不可能经过焦点F（0，

1

8

）
所以当且仅当x₁+x₂=0时，直线l经过抛物线的焦点F
（II）解：设直线l的方程为：y=2x+b，
故有过AB的直线的方程为y=-

1

2

x+m，代入抛物线方程有2x²+

1

2

x-m=0，得x₁+x₂=-

1

4

．
由A、B是抛物线上不同的两点，于是上述方程的判别式△=

1

4

+8m＞0，也就是：m＞-

1

32

．
由直线AB的中点为（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）=（-

1

8

，

1

16

+m），
则

1

16

+m=-

1

4

+b，于是：b=

5

16

+m＞

5

16

-

1

32

=

9

32

．
即得l在y轴上的截距的取值范围是（

9

32

，+∞）．

点评：本题主要考查了抛物线的应用．在解决直线与圆锥曲线的问题时，要注意讨论直线斜率是否存在的问题．