Question

一个均匀的正四面体的四个面上分别写有1、2、3、4四个数字，现随机投掷两次，正四面体下底面上的数字分别为x₁、x₂，设O为坐标原点，点P的坐标为（x₁-3，x₂-3），记ξ=|

OP

|2．
（Ⅰ）分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）掷出点数x可以是：1、2、3、4，ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²．则（x-3）²的所有取值分别为：0、1、4．因此ξ的所有取值为：0、1、2、4、5、8．由此能够求出ξ取得最大值和最小值时的概率．
（Ⅱ）由ξ的所有取值为：0、1、2、4、5、8．且P(ξ=0)=P(ξ=8)=

1

16

；P(ξ=1)=

4

16

；P(ξ=2)=

4

16

；P(ξ=4)=

2

16

；P(ξ=5)=

4

16

．能求出ξ的分布列ξ的期望．

解答：解：（Ⅰ）掷出点数x可以是：1、2、3、4，ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²．
则x-（3分）别得：-2、-1、0、1，
于是（x-3）²的所有取值分别为：0、1、4．
因此ξ的所有取值为：0、1、2、4、5、8．
当x₁=x₂=1时，ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²可取得最大值8，
P(ξ=8)=

1

4

×

1

4

=

1

16

当x₁=x₂=3时，ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²可取得最小值0，
P(ξ=0)=

1

4

×

1

4

=

1

16

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ξ的所有取值为：0、1、2、4、5、8．
且P(ξ=0)=P(ξ=8)=

1

16

；P(ξ=1)=

4

16

；
P(ξ=2)=

4

16

；
P(ξ=4)=

2

16

；
P(ξ=5)=

4

16

．
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	4	5	8
P	1 16	1 4	1 4	1 8	1 4	1 16

即ξ的期望Eξ=0×

1

16

+1×

1

4

+2×

1

4

+4×

1

8

+5×

1

4

+8×

1

16

=3．

点评：本题考查离散型随机变量的概率分布列和数学期望，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．