Question

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过原点，且两条渐近线与以点A(0，

2

)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线C的一个焦点与点A关于直线y=x对称．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）和线段AB的中点，求直线l在y轴上截距b的取值范围．

Answer 1

分析：（I）设出双曲线的渐近线方程，写出圆的方程，利用直线与圆相切的充要条件：圆心到切线的距离等于半径列出关于斜率的方程，求出渐近线斜率，根据渐近线的斜率判断出是等轴双曲线，根据双曲线三个参数的关系求出双曲线方程
（II）将直线方程与双曲线的方程联立消去y得到关于x的二次方程，利用韦达定理求出两个交点横坐标的和及积，令和小于0积大于0求出m的范围，同时求出两个交点中点的坐标，利用两点式求出另一条直线的方程，令x=0得到纵截距，看成关于m的函数，求出函数的值域即纵截距的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，
又该直线与圆x2+(y-

2

)2=1相切
所以 1=

|k×0- 2 |

k2+1

?k=±1
可设双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

a2

=1
又双曲线C的一个焦点为（

2

，0），
所以2a²=2?a²=1
所求双曲线C的方程为  x²-y²=1
（Ⅱ）由 

y=mx+1 x2-y2=1

得(1-m2)x2-2mx-2=0依题意

4m2+8(1-m2)＞0 2m 1-m2 ＜0 -2 1-m2 ＞0

?1＜m＜

2

线段AB的中点为(

m

1-m2

，

1

1-m2

)，直线l的方程y=

1

-2m2+m+2

(x+2)令x=0，得b=

2

-2m2+m+2

=

2

-2(m- 1 4 )2+ 17 8

因为m∈(1，

2

)，所以-2(m-

1

4

)2+

17

8

∈(-2+

2

，1)
所以 直线l在y轴上截距b∈(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)．

点评：求圆锥曲线的方程一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系一般将直线的方程与圆锥曲线的方程联立消去一个未知数得到关于另一个未知数的二次方程，利用韦达定理得到交点的坐标的关系，作为突破口来找思路．