Question

18．已知函数f（x）=-sinx+ax（a为常数）．
（1）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]时函数f（x）单调递增，求实数a的取值范围；
（2）证明：当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，cosx≥-$\frac{1}{2}$x²+1．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，问题转化为a≥cosx在x∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，求出a的范围即可；（2）令g（x）=cosx+$\frac{1}{2}$x²-1，根据函数的单调性求出g（x）≥0，从而证出结论即可．

解答 解：（1）函数f（x）=-sinx+ax，f′（x）=-cosx+a，
若x∈[0，$\frac{π}{2}$]时函数f（x）单调递增，
则-cosx+a≥0在x∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，
则a≥cosx在x∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，
则a≥1；
（2）证明：令g（x）=cosx+$\frac{1}{2}$x²-1，
则g′（x）=-sinx+x，g″（x）=-cosx+1≥0，
故g′（x）在[0，$\frac{π}{2}$]递增，
故g′（0）≥0，g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]递增，
故g（x）≥g（0）0，
故x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，cosx≥-$\frac{1}{2}$x²+1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．