Question

1．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2a-1）x+4a，x＜1}\\{1+lo{g}_{a}x，x≥1}\end{array}\right.$是R上的减函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$）
• B． [$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）
• C． （$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 根据题意，由函数在R上是减函数，分析可得$\left\{\begin{array}{l}{2a-1＜0}\\{0＜a＜1}\\{6a-1≥1}\end{array}\right.$，解可得a的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2a-1）x+4a，x＜1}\\{1+lo{g}_{a}x，x≥1}\end{array}\right.$是R上的减函数，
则有$\left\{\begin{array}{l}{2a-1＜0}\\{0＜a＜1}\\{6a-1≥1}\end{array}\right.$，
解可得$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{1}{2}$，
即a的取值范围是[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）；
故选：B．

点评 本题考查函数单调性的应用，涉及分段函数的应用，关键是熟悉函数单调性的定义及性质．