Question

12．己知直线2x-y-4=0与直线x-2y+1=0交于点p．
（1）求过点p且垂直于直线3x+4y-15=0的直线l₁的方程；（结果写成直线方程的一般式）
（2）求过点P并且在两坐标轴上截距相等的直线l₂方程（结果写成直线方程的一般式）

Answer 1

分析 （1）解方程组$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y-4=0}\\{x-2y+1=0}\end{array}}\right.$，得P点的坐标为（3，2）．直线3x+4y-15=0斜率为 $-\frac{3}{4}$，可得垂直于直线3x+4y-15=0的直线l₁的斜率为$\frac{4}{3}$，利用点斜式即可得出．
另解：垂直于直线3x+4y-15=0的直线l₁的方程可设为4x-3y+C=0，又过P（3，2），代入解得C即可得出．
（2）①当所求的直线经过原点时，设方程为y=kx，又过P（3，2），代入即可得出．
②当所求的直线不经过原点时，可设方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$，又过P（3，2），得a即可得出．

解答 解：（1）解方程组$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y-4=0}\\{x-2y+1=0}\end{array}}\right.$，得P点的坐标为（3，2）…（2分）
直线3x+4y-15=0斜率为 $-\frac{3}{4}$，
则垂直于直线3x+4y-15=0的直线l₁的斜率为 $\frac{4}{3}$，…（4分）
所以直线l₁的方程，$y-2=\frac{4}{3}（x-3）$即4x-3y-6=0．
另解：垂直于直线3x+4y-15=0的直线l₁的方程可设为4x-3y+C=0，…（4分）
又过P（3，2），∴12-6+C=0，解得C=-6．
所以直线l₁的方程为：4x-3y-6=0．…（6分）
（2）①当所求的直线经过原点时，设方程为y=kx，又过P（3，2），所以直线l₂的方程为2x-3y=0…．…（8分）
②当所求的直线不经过原点时，可设方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$，又过P（3，2），得a=5，
所以直线l₂的方程为x+y-5=0…．（11分）
综上所述，所求的直线l₂的方程为2x-3y=0或x+y-5=0…．（12分）

点评 本题考查了垂直的充要条件、直线的交点、截距式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于基础题．