Question

已知双曲线C：x²-

y2

b2

=1（b＞0），过点M（1，1）作直线l交双曲线C于A、B两点，使得M是线段AB的中点，则实数b取值范围为（　　）

A．（1， 2 ）

B．（-1，0）∪（0，1）

C．（0，1）

D．（1，+∞）

Answer 1

由题意设l：y-1=k（x-1），即y=kx-k+1，代入x²-

y2

b2

=1，整理得（b²-k²）x²+2k（k-1）x-（k-1）²+b²=0
不妨令A、B两点两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
由有x₁+x₂=2，
得x₁+x₂=2=

2k2-2k

k2-b2

∴k=b²，
当直线与曲线有两个交点时，有△＞0，用b代替k整理出
（b⁴-b²）（2b⁴-2b²+1）＞0
∵2b⁴-2b²+1＞0恒成立，
∴b⁴-b²＞0成立即可，
∴b²-1＞0
∴b＞1或b＜-1，
∵b＞0，
故选D．