Question

19．双曲线与椭圆有共同的焦点F₁（-5，0），F₂（5，0），点P（4，3）是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．

Answer 1

分析 先利用双曲线与椭圆有共同的焦点F₁（-5，0），F₂（5，0），设出对应的双曲线和椭圆方程，再利用点P（4，3）适合双曲线的渐近线和椭圆方程，就可求出双曲线与椭圆的方程．

解答 解：由共同的焦点F₁（-5，0），F₂（5，0），
可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-25}$=1，双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{25-{b}^{2}}$=1，
点P（4，3）在椭圆上，$\frac{16}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{{a}^{2}-25}$=1，a²=40，
双曲线的过点P（4，3）的渐近线为y=$\frac{3}{4}$x，
分析有$\frac{25-{b}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{9}{16}$，计算可得b²=16．
所以椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{40}$+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1；
双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

点评 本题考查双曲线与椭圆的标准方程的求法．在求双曲线与椭圆的标准方程时，一定要先分析焦点所在位置，再设方程，避免出错．