Question

8．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$（a＞b＞0）的一条渐近线方程为y=$\frac{1}{2}$x，则其离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的标准方程可得其焦点的位置，进而可得其渐近线的方程为y=±$\frac{b}{a}$x，结合题意可得$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，即b=$\frac{1}{2}$a，由a、b、c的关系可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，由离心率公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，已知双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$（a＞b＞0），
其焦点在x轴上，
则其渐近线的方程为：y=±$\frac{b}{a}$x，
又由题意，该双曲线的一条渐近线方程为y=$\frac{1}{2}$x，
则有$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，即b=$\frac{1}{2}$a，
则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
则其离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
故选：A．

点评 本题考查双曲线的集合性质，注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置，进而确定其渐近线的方程．