Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₃=10，a₆=22，数列{b_n}的前n项和是T_n，且Tn+

1

3

bn=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）记c_n=a_n•b_n，求证：c_n+1＜c_n．

Answer 1

（I）∵数列{a_n}是等差数列，a₃=10，a₆=22，
∴

a1+2d=10 a1+5d=22.

解得 a₁=2，d=4．
∴a_n=2+（n-1）×4=4n-2．…（4分）
（II）证明：由于Tn=1-

1

3

bn，①
令n=1，得b1=1-

1

3

b1，解得b1=

3

4

当n≥2时，Tn-1=1-

1

3

bn-1②
①-②得bn=

1

3

bn-1-

1

3

bn，
∴bn=

1

4

bn-1
又b1=

3

4

≠0，∴

bn

bn-1

=

1

4

．
∴数列{b_n}是以

3

4

为首项，

1

4

为公比的等比数列．…（9分）
（III）证明：由（II）可得bn=

3

4n

．…（9分）   
∴cn=an•bn=

3(4n-2)

4n

…（10分）
∴cn+1-cn=

3[4(n+1)-2]

4n+1

-

3(4n-2)

4n

=

30-36n

4n+1

．
∵n≥1，故c_n+1-c_n＜0，
∴c_n+1＜c_n．…（13分）