Question

设O为坐标原点，抛物线y²=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则k_OA•k_OB=

 

．

Answer 1

分析：先看当直线与x轴不垂直时设出直线方程代入抛物线方程消去y，设出A，B点坐标根据韦达定理求得y₁•y₂的值，进而代入k_OA•k_OB中求得答案；再看直线与x轴垂直时把x=

1

2

代入抛物线方程求得A，B点的坐标代入两直线的斜率的乘积答案可得．

解答：解：当直线与x轴不垂直时设直线l：y=k（x-

1

2

），
代入y²=2x，得：ky²-2y-1=0
设A（

y 2 1

2

，y₁），B（

y 2 1

2

x₂，y₂）
∴y₁•y₂=-1
∴k_OA•k_OB=

y1

y 2 1 2

•

y2

y 2 2 2

=

4

y1 y2

=-4
当直线与x轴垂直时，x=

1

2

，y=±1
∴k_OA•k_OB=

1

1 2

×

-1

1 2

=-4
故答案为-4

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求．