试题分析:(1)利用导数求函数单调性,注意考虑函数定义域. 两个函数的单调性可以从可以确定的函数入手.因为
当
时,
;当
时,
对
恒成立,所以,
对
恒成立,所以,
在
上为增函数。根据
和
在定义域上单调性相反得,
在
上为减函数,所以
对
恒成立,即:
,所以
因为
,当且仅当
时,
取最大值
.所以
,此时
的最小值是
,-(2)运用函数与方程思想,方程有三个不同的解,实质就是函数
与
有三个不同的交点 ,由图像可知
在极大值与极小值之间. 证明不等式
,需从结构出发,利用条件消去a,b,将其转化为一元函数:
,从而根据函数
单调性,证明不等式.
解析:(1)因为
2分。
当
时,
;当
时,
对
恒成立,
所以,
对
恒成立,所以,
在
上为增函数。
根据
和
在定义域上单调性相反得,
在
上为减函数,所以
对
恒成立,即:
,所以
因为
,当且仅当
时,
取最大值
.所以
,此时
的最小值是
, 6分
(2)因为
当
时,
,且一元二次方程
的
,所以
有两个不相等的实根
8分
当
时,
为增函数;
当
时,
为减函数;
当
时,
为增函数;
所以当
时,
一定有3个不相等的实根
,
,
分别在
内,不妨设
,因为
,所以
即
即
即
所以
所以
,令
,则
由(1)知
在
上为减函数,又
所以当
,又
所以
即
16分