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已知函数.
(1当 时, 与)在定义域上单调性相反,求的 的最小值。
(2)当时,求证:存在,使的三个不同的实数解,且对任意都有.
(1) 1,(2)详见解析.

试题分析:(1)利用导数求函数单调性,注意考虑函数定义域. 两个函数的单调性可以从可以确定的函数入手.因为时,;当时,恒成立,所以,恒成立,所以,上为增函数。根据在定义域上单调性相反得,上为减函数,所以恒成立,即:,所以因为,当且仅当时,取最大值.所以,此时的最小值是,-(2)运用函数与方程思想,方程有三个不同的解,实质就是函数有三个不同的交点 ,由图像可知在极大值与极小值之间. 证明不等式,需从结构出发,利用条件消去a,b,将其转化为一元函数:,从而根据函数单调性,证明不等式.
解析:(1)因为        2分。
时,;当时,恒成立,
所以,恒成立,所以,上为增函数。
根据在定义域上单调性相反得,上为减函数,所以恒成立,即:,所以因为,当且仅当时,取最大值.所以,此时的最小值是,      6分
(2)因为时,,且一元二次方程,所以有两个不相等的实根     8分
时,为增函数;
时,为减函数;
时,为增函数;
所以当时,一定有3个不相等的实根
分别在内,不妨设,因为,所以
所以
所以
,令,则
由(1)知上为减函数,又
所以当,又
所以       16分
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