Question

（2013•潍坊一模）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，点E，F分别在BC，AD上，且E为BC中点，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使二面角A-EF-D等于60°．
（I）设这P为AD的中点，求证：CP∥平面ABEF；
（Ⅱ）求直线AF与平面ACD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）取AF中点Q，连接EQ、PQ，利用三角形中位线定理结合已知条件证出四边形PQEC是平行四边形，可得CP∥EQ，再由线面平行的判定定理，即可得到CP∥平面ABEF；
（II）根据折叠后仍有EF⊥AF且EF⊥FD，可得EF⊥平面ADF且∠AFD就是二面角A-EF-D的平面角．过A作AO⊥FD于O，平面CDFE内作OG∥EF交EC于G，可得直线OG、OD、OA两两互相垂直．因此分别以OG、OD、OA所在直线为x、y、z轴，建立如图所示坐标系．算出F、A、D、C各点的坐标，从而得到向量

AF

、

AD

和

CD

的坐标，根据垂直向量数量积为零，建立方程组算出平面ACD的一个法向量为

n

=（1，1，

3

），用夹角公式算出

n

、

AF

夹角的余弦，最后根据直线与平面所成角的性质，得到

n

、

AF

夹角余弦的绝对值即为直线AF与平面ACD所成角的正弦值．

解答：解：（I）取AF中点Q，连接EQ、PQ
∵QP是△ADF的中位线，∴QP=DF且QP=

1

2

DF，
又∵EC∥DF且EC=

1

2

DF，
∴QP∥EC且QP=EC，可得四边形PQEC是平行四边形，
可得CP∥EQ
∵CP?平面ABEF，EQ?平面ABEF，∴CP∥平面ABEF；
（II）根据题意，折叠后仍有EF⊥AF，EF⊥FD
∴∠AFD就是二面角A-EF-D的平面角，∠AFD=60°
∵AF、FD是平面ADF内的相交直线，∴EF⊥平面ADF．
∵AO?平面ADF，∴AO⊥EF，
过A作AO⊥FD于O，
∵EF、FD是平面CDFE内的相交直线，∴AO⊥平面CDFE，
在平面CDFE内，作OG∥EF交EC于G，则OG⊥FD，OG⊥AO
分别以OG、OD、OA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示
Rt△AOF中，AF=2，∠AF0=60°，则FO=1，OA=

3

，
∴F（0，-1，0），A（0，0，

3

），D（0，3，0），C（2，1，0）
可得

AF

=（0，-1，-

3

），

AD

=（0，3，-

3

），

CD

=（-2，2，0）
设平面ACD的一个法向量为

n

=（x，y，z），则

n • AD =3y- 3 z=0 n • CD =-2x+2z=0

取z=

3

，得x=y=1，可得

n

=（1，1，

3

），
∵cos＜

n

，

AF

＞=

-1-3

2× 5

=-

2 5

5

，
∴设直线AF与平面ACD所成角为α，则sinα=|cos＜

n

，

AF

＞|=

2 5

5

即直线AF与平面ACD所成角的正弦值是

2 5

5

．

点评：本题给出平面图形的翻折，求证线面平行并在已知二面角大小的情况下求直线与平面所成角正弦值，着重考查了线面平行的判定与性质和利用空间向量研究直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题．