Question

【题目】已知F1 ， F2分别是椭圆C： =1（a＞b＞0）的两个焦点，P（1， ）是椭圆上一点，且 |PF1|，|F1F2|， |PF2|成等差数列．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知动直线l过点F2 ， 且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得 =﹣ 恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ |PF1|，|F1F2|， |PF2|成等差数列，

∴ |PF1|+ |PF2|=2|F1F2|，即2 a=4c，∴a= ．

∴ ，解得 ．

∴椭圆方程为 ．

（2）解：假设在x轴上存在点Q（m，0），使得 恒成立．

① 当直线l的斜率为0时，A（﹣ ，0），B（ ，0）．

∴ =（﹣ ﹣m，0）， =（ ﹣m，0）．

∴ =m2﹣2=﹣ ，解得 或m=﹣ ．

②若直线l斜率不为0，设直线AB的方程为x=ty+1．

联立方程组 ，消元得：（t2+2）y2+2ty﹣1=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ．

∴x1+x2=t（y1+y2）+2= ，

x1x2=（ty1+1）（ty2+1）=t2y1y2+t（y1+y2）+1= ．

∵ =（x1﹣m，y1）， =（x2﹣m，y2）．

∴ =（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=x1x2﹣m（x1+x2）+m2+y1y2

= ﹣ +m2﹣ = =﹣ ．

∴ ，解得m= ．

综上，Q点坐标为（ ，0）

【解析】（1）根据椭圆的性质及等差数列性质得出a= c，把P点坐标代入椭圆方程列方程组解出a，b得出椭圆方程；（2）设Q（m，0），当直线斜率为0时，求出A，B坐标，列方程解出m，当直线斜率不为0时，设AB方程为x=ty+1，联立方程组得出A，B坐标的关系，根据 =﹣ 列方程解出m．