Question

【题目】如图所示，锐角三角形ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为圆I与边CA的切点．

（1）求证A，I，H，E四点共圆；
（2）若∠C=50°，求∠IEH的度数．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由圆I与AC相切于点E得IE⊥AC，结合HI⊥AH，得∠AEI=∠AHI=90°，所以A，I，H，E四点共圆．
（2）解：由（1）知A，I，H，E四点共圆，在此圆中∠IEH与∠IAH对同弧，

∴∠IEH=∠HAI．

∵锐角△ABC的内心为I，

∴AI、BI分别是∠BAC、∠ABC的平分线，

可得∠HIA=∠ABI+∠BAI= ∠ABC+ ∠BAC= （∠ABC+∠BAC）= （180°﹣∠C）=90°﹣ ∠C，

结合IH⊥AH，得∠HAI=90°﹣∠HIA=90°﹣（90°﹣ ∠C）= ∠C，所以∠IEH= ∠C．

由∠C=50°得∠IEH=25°

【解析】（1）由于⊙I切AC于点E，可得IE⊥AC，又AH⊥IH，可得A、I、H、E四点共圆；（2）在此圆中∠IEH与∠IAH对同弧．再利用三角形内角平分线的性质和三角形的内角和定理即可得出．