Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，．　

（1）证明：平面平面；

（2）若，为棱的中点，，，求四面体的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：(1)由面面垂直的性质定理得到⊥平面，即，进而得到平面平面,(2)由等体积法求解，。

详解：（1）证明：∵四边形是矩形，∴CD⊥BC.

∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，

∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PB.

∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.

∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.

（2）取BC的中点O，连接OP、OE.

∵平面，∴，∴，

∵，∴．

∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，PO平面PBC，

∴PO⊥平面ABCD，∵AE平面ABCD,∴PO⊥AE.∵∠PEA=90O, ∴PE⊥AE.

∵PO∩PE=P，∴AE⊥平面POE，∴AE⊥OE.

∵∠C=∠D=90O, ∴∠OEC=∠EAD,

∴，∴．

∵，，，∴，

．