Question

过抛物线y²=2px（P＞0）的焦点的直线x-my+m=0与抛物线交于A、B两点，且△OAB（O为坐标原点）的面积为2

2

，则m⁶+m⁴=

 

．

Answer 1

分析：先根据抛物线的方程求得焦点的坐标，代入直线方程求得m和p的关系式，进而把直线与抛物线方程联立消去y，求得方程的解，进而根据直线方程可分别求得y₁和y₂，△OAB的面积可分为△OAP与△OBP的面积之和，而△OAP与△OBP若以OP为公共底，则其高即为A，B两点的y轴坐标的绝对值，进而可表示三角形的面积进而求得p，则m的值可得，代入m⁶+m⁴中，即可求得答案．

解答：解：由题意，可知该抛物线的焦点为（

p

2

，0），它过直线，代入直线方程，可知：

p

2

+m=0求得m=-

p

2

∴直线方程变为：y=-

2

p

x+1
A，B两点是直线与抛物线的交点，
∴它们的坐标都满足这两个方程．
∴（-

2

p

x+1）²=2px
∴△=（

4

p

+2p）²-

16

p2

=4p²+16＞0
∴方程的解x₁=

4 p +2p- 4p2+16

8 p2

，
x₂=

4 p +2p+ 4p2+16

8 p2

；
代入直线方程，可知：y₁=1-

4 p +2p- 4p2+16

4 p

，
y₂=1-

4 p +2p+ 4p2+16

4 p

，
△OAB的面积可分为△OAP与△OBP的面积之和，
而△OAP与△OBP若以OP为公共底，
则其高即为A，B两点的y轴坐标的绝对值，
∴△OAP与△OBP的面积之和为：
S=

1

2

•

p

2

•|y₁-y₂|=

p2

8

•

4p2+16

=2

2

求得p=2，
∵m=-

p

2

m²=1
∴m⁶+m⁴=1³+1²=1+1=2
故答案为：2

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，直线，抛物线与椭圆的关系．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．