Question

13．如图，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，长轴长为2$\sqrt{2}$，左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点P为椭圆上一点，且∠F₁F₂P=90°，求△F₁F₂P的面积；
（3）过点A作斜率为k₁，k₂的两条直线，分别交椭圆于D，E两点，若D，E两点关于原点对称，求k₁k₂的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴，2a=2$\sqrt{2}$，则a=$\sqrt{2}$，椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，c=1，由b²=a²-c²=1，则椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由PF₂⊥F₁P，P点坐标为（1，±$\frac{\sqrt{2}}{2}$），△F₁F₂P的面积S=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨•丨y丨=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）设D（x₁，y₁），E（-x₁，-y₁），由直线AD的斜率k₁=$\frac{{y-y}_{1}}{x-{x}_{1}}$=$\frac{1-{y}_{1}}{0-{x}_{1}}$，直线AE的斜率k₂=$\frac{y+{y}_{1}}{x+{x}_{1}}$=$\frac{1+{y}_{1}}{{x}_{1}}$，y₁²=1-$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$，k₁•k₂=$\frac{1-{y}_{1}}{0-{x}_{1}}$•$\frac{1+{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{1-{y}_{1}^{2}}{{x}_{1}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，即可求得k₁k₂的值．

解答 解：（1）由题意可知：椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴，2a=2$\sqrt{2}$，则a=$\sqrt{2}$，
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c=1，
由b²=a²-c²=1，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由∠F₁F₂P=90°，
∴PF₂⊥F₁P，
则当x=c=1时，解得：y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴P点坐标为（1，±$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
由三角形的面积公式可知：△F₁F₂P的面积S=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨•丨y丨=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△F₁F₂P的面积$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）点A（0，1），设D（x₁，y₁），E（-x₁，-y₁），
则y₁²=1-$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$，
由直线AD的斜率k₁=$\frac{{y-y}_{1}}{x-{x}_{1}}$=$\frac{1-{y}_{1}}{0-{x}_{1}}$，直线AE的斜率k₂=$\frac{y+{y}_{1}}{x+{x}_{1}}$=$\frac{1+{y}_{1}}{{x}_{1}}$，
∴k₁•k₂=$\frac{1-{y}_{1}}{0-{x}_{1}}$•$\frac{1+{y}_{1}}{{x}_{1}}$=-$\frac{1-{y}_{1}^{2}}{{x}_{1}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
k₁k₂的值-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查焦点三角形的面积公式，考查通径的求法，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．