Question

2．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l为抛物线C有且只有一个公共点，且l∥MN，点P在直线l上运动，求$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的最小值，并判断此时点P与以MN为直径的圆的位置关系．

Answer 1

分析 （1）过点F且斜率为1的直线代入抛物线，利用|MN|=8，可得y₁+y₂+p=8，即可求抛物线C的方程；
（2）设l方程为y=x+b，代入y²=4x，利用直线l为抛物线C的切线，求出b，再利用向量的数量积公式求$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$，利用配方法可求最小值；求出圆的方程，即可得出结论．

解答 解：（1）由题可知F（0，$\frac{p}{2}$），则该直线方程为：y=x+$\frac{p}{2}$，…（1分）
代入x²=2py（p＞0）得：x²-2px-p²=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则有x₁+x₂=2p…（3分）
∵|MN|=8，∴y₁+y₂+p=8，即3p+p=8，解得p=2
∴抛物线的方程为：x²=4y．…（5分）
（2）设l方程为y=x+b，代入x²=4y，得x²-4x-4b=0，
∵l为抛物线C的切线，∴△=0，
解得b=-1，∴l：y=x-1…（7分）
由（1）可知：x₁+x₂=4，x₁x₂=-4
设P（m，m-1），则$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=（x₁-m，y₁-m+1）•（x₂-m，y₂-m+1）=（x₁-m）（x₂-m）+（x₁-m+2）（x₂-m+2）
=2x₁x₂+（2-2m）（x₁+x₂）+（2-m）²=（m-6）²-32，
∴m=6时，即点P的坐标为（6，5）时，$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的最小值为-32．
以MN为直径的圆的方程为（x-2）²+（y-3）=²16，故P在圆上…（12分）

点评 本题考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，韦达定理的运用，考查向量的数量积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．