Question

12．我州某高中一研究性学习小组，在某一告诉公路服务区进行社会实践活动，从小型汽车中按进服务区的先后，每间隔5辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），统计后得到如图的频率分布直方图．
（1）此研究性学习小组在采样中，用到的是什么抽样方法？并求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；
（2）若从车速在[70，80）的车辆中任抽取2辆，求车速在[75，80）的车辆数X的数学期望．

Answer 1

分析 （1）每间隔5辆就抽取一辆的抽样方法抽取样本数据，符合系统抽样的特征，可得用到的抽样方法是系统抽样；
由小矩形最高的是[85，90）组，可得样本数据的众数为$\frac{85+90}{2}$，0.01×5+0.02×5+0.04×5=0.35＜0.5，设0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×m=0.5，解得m．
（2）车速在[70，80）的车辆共有6辆，车速在[70，75）和[75，80）的车辆分别有2辆和4辆，若从车速在[70，80）的车辆中任意抽取3辆，车速在[75，80）的车辆数为x，则x的可能取值为1，2，3，利用超几何分布列计算公式即可得出．

解答 解：（1）∵每间隔5辆就抽取一辆的抽样方法抽取样本数据，符合系统抽样的特征，∴在采样中，用到的抽样方法是系统抽样；
∵小矩形最高的是[85，90）组，∴样本数据的众数为$\frac{85+90}{2}$=87.5．
∵0.01×5+0.02×5+0.04×5=0.35＜0.5，设0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×m=0.5，则m=2.5，
∴中位数的估计值为85+m=87.5；…（6分）
（2）车速在[70，80）的车辆共有6辆，车速在[70，75）和[75，80）的车辆
分别有2辆和4辆，若从车速在[70，80）的车辆中任意抽取3辆，车速在[75，80）的车辆数为x，则x的可能取值为1，2，3；
∴P（x=1）=$\frac{{∁}_{2}^{2}•{∁}_{4}^{1}}{{∁}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，P（x=2）=$\frac{{∁}_{2}^{1}{∁}_{4}^{2}}{{∁}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（x=3）=$\frac{{∁}_{2}^{0}{∁}_{4}^{3}}{{∁}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∴分布列为：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

∴车速在[75，80）的车辆数的数学期望为Ex=1×$\frac{1}{5}$+2×$\frac{3}{5}$+3×$\frac{1}{5}$=2．

点评 本题考查了频率分布直方图、超几何分布列计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．