Question

12．函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位后得到函数g（x）=-cos2x的图象，则函数 f（x）的图象（　　）

• A． 关于直线x=$\frac{π}{12}$对称
• B． 关于直线x=$\frac{5π}{12}$对称
• C． 关于点（$\frac{π}{12}$，0）对称
• D． 关于点（$\frac{5π}{12}$，0）对称

Answer 1

分析 由题意根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求sin（2x+$\frac{2π}{3}$+φ）=sin（2x-$\frac{π}{2}$），结合范围可求φ，进而可求f（x）函数解析式，利用正弦函数的图象和性质逐一判断各个选项即可得解．

解答 解：函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位后，得到函数y=sin[2（x+$\frac{π}{3}$）+φ]=sin（2x+$\frac{2π}{3}$+φ）的图象，
再根据所得到的图象对应函数为g（x）=-cos2x，
可得：sin（2x+$\frac{2π}{3}$+φ）=-cos2x=sin（2x-$\frac{π}{2}$），
可得：$\frac{2π}{3}$+φ=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，或$\frac{2π}{3}$+φ=π-（-$\frac{π}{2}$）+2kπ，k∈Z，
解得：φ=2kπ-$\frac{7π}{6}$，或2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
因为：|φ|＜π，
所以：φ=$\frac{5π}{6}$，f（x）=sin（2x+$\frac{5π}{6}$），
对于A，由于sin（2×$\frac{π}{12}$+$\frac{5π}{6}$）=0≠±1，故错误；
对于B，由于sin（2×$\frac{5π}{12}$+$\frac{5π}{6}$）≠±1，故错误；
对于C，由于sin（2×$\frac{π}{12}$+$\frac{5π}{6}$）=0，故正确；
对于C，由于sin（2×$\frac{5π}{12}$+$\frac{5π}{6}$）≠0，故错误；
故选：C．

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．