Question

13．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ（0$≤θ≤\frac{π}{2}$），直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+tcos\frac{π}{6}}\\{y=tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程；
（2）求曲线C上的动点M到直线l的距离的范围．

Answer 1

分析 （1）消去参数，可得直线l的直角坐标方程；由ρ=4cosθ得：x²+y²=4x，可得曲线C的参数方程；
（2）点M（2+2cosα，2sinα）到直线x-$\sqrt{3}$y+3=0的距离为d．d=$\frac{|2+2cosα-2\sqrt{3}sinα+3|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{1}{2}$[5-4sin（α-$\frac{π}{6}$）]，即可求曲线C上的动点M到直线l的距离的范围．

解答 解：（1）直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+tcos\frac{π}{6}}\\{y=tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t为参数），
消去参数，得到直线x+3=$\sqrt{3}$y，即：x-$\sqrt{3}$y+3=0．
由ρ=4cosθ得：x²+y²=4x，即：（x-2）²+y²=4
∵0$≤θ≤\frac{π}{2}$，∴y≥0
故C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数，0≤α≤π）；
（2）设点M（2+2cosα，2sinα）到直线x-$\sqrt{3}$y+3=0的距离为d．
d=$\frac{|2+2cosα-2\sqrt{3}sinα+3|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{1}{2}$[5-4sin（α-$\frac{π}{6}$）]，
∵0≤α≤π，
∴-$\frac{π}{6}$≤α-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（α-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴$\frac{1}{2}$≤d≤$\frac{7}{2}$，
即点M到直线l的距离的范围是[$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$]．

点评 本题考查极坐标、参数方程、普通方程的转化，考查参数方程的运用，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．