Question

5．设$（f（x，y））=（{\begin{array}{l}xy1\end{array}}）（{\begin{array}{l}1&0&1\\ 0&1&1\\ 1&1&{-2}\end{array}}）（{\begin{array}{l}x\\ y\\ 1\end{array}}）$，点A（x₁，y₁）满足方程f（x，y）=0，点B（-1，-1）．
（1）计算$|{\overrightarrow{AB}}$|； 
（2）O为坐标原点，当$\overrightarrow{AO}$⊥$\overrightarrow{BO}$时，计算$|{\overrightarrow{AO}}$|； 
（3）求$|{\overrightarrow{OA}}$|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用定义，可得${（{x_1}+1）^2}+{（{y_1}+1）^2}={2^2}\end{array}$，所以A在以（-1，-1）为圆心，2为半径的圆上，即可计算$|{\overrightarrow{AB}}$|； 
（2）O为坐标原点，当$\overrightarrow{AO}$⊥$\overrightarrow{BO}$时，利用勾股定理计算$|{\overrightarrow{AO}}$|； 
（3）当$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$同向时，${\overrightarrow{OA}_{max}}=2+\sqrt{2}$，当$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$反向时，$\overrightarrow{OA}min$=2-$\sqrt{2}$，求$|{\overrightarrow{OA}}$|的取值范围．

解答 解：（1）$（f（x，y））=（{\begin{array}{l}xy1\end{array}}）（{\begin{array}{l}1&0&1\\ 0&1&1\\ 1&1&{-2}\end{array}}）（{\begin{array}{l}x\\ y\\ 1\end{array}}）$=（x²+y²+2x+2y-2），
∴${（{x_1}+1）^2}+{（{y_1}+1）^2}={2^2}\end{array}$
∴点A在以（-1，-1）为圆心，2为半径的圆上．所以$|{\overrightarrow{AB}}|=2$；$（2）∵\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{BO}∴{|{\overrightarrow{AO}}|^2}={|{\overrightarrow{AB}}|^2}-{|{\overrightarrow{OB}}|^2}={2^2}-{（\sqrt{2}）^2}=2∴|{\overrightarrow{AO}}|=\sqrt{2}$；
（3）当$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$同向时，${\overrightarrow{OA}_{max}}=2+\sqrt{2}$，当$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$反向时，$\overrightarrow{OA}min$=2-$\sqrt{2}$，
∴$|{\overrightarrow{AO}}|∈[{2-\sqrt{2}，2+\sqrt{2}}]$．

点评 本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，属于中档题．