Question

10．f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称区间[m，n]为函数f（x）的k倍区间．若区间[m，n]为函数f（x）=$\frac{（{a}^{2}+a）x-2}{{a}^{2}x}$（a≠0）的2倍区间，则n-m的最大值为$\frac{2\sqrt{15}}{15}$．

Answer 1

分析 根据题目中的新定义，结合函数与方程的知识转化为$\frac{（{a}^{2}+a）x-2}{{a}^{2}x}$=2的根求解，从而确定正确的答案．

解答 解：根据题意得出函数f（x）=$\frac{（{a}^{2}+a）x-2}{{a}^{2}x}$（a≠0）=$\frac{{a}^{2}+a}{{a}^{2}}$$-\frac{2}{{a}^{2}x}$是单调递增函数，
∴转化为$\frac{（{a}^{2}+a）x-2}{{a}^{2}x}$=2x有2个根的问题．
即2a²x²-（a²+a）x+2=0，
x₁+x₂=$\frac{{a}^{2}+a}{2{a}^{2}}$，x_xx₂=$\frac{1}{{a}^{2}}$，
|x₁-x₂|=$\sqrt{（\frac{{a}^{2}+a}{2{a}^{2}}）^{2}-\frac{4}{{a}^{2}}}$═$\sqrt{\frac{{a}^{2}+2a-15}{4{a}^{2}}}$=$\sqrt{-\frac{15}{4}（\frac{1}{a}）^{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{a}+\frac{1}{4}}$
根据二次函数得出$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{15}$时取的最大值$\frac{2\sqrt{15}}{15}$
∵利用新定义判断n，m为方程的根
∴n-m的最大值为$\frac{2\sqrt{15}}{15}$
故答案为：$\frac{2\sqrt{15}}{15}$

点评 本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，考查了在新定义下函数的定义域、值域问题以及解方程的问题，是易错题．综合性较强，有一定的难度．