Question

15．如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，OA=AB=2，OA⊥底面ABCD，M为OA的中点，N为BC的中点．作AP⊥CD于点P，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系．
（1）证明：直线MN∥平面OCD；  
（2）求异面直线AB与MD所成角的余弦值；
（3）求点B到平面OCD的距离．

Answer 1

分析 （1）根据空间直角坐标系，写出对应点与向量的坐标，利用平面OCD的法向量证明MN∥平面OCD；
（2）利用向量的数量积求出AB与MD所成角的余弦值；
（3）利用向量$\overrightarrow{OB}$在法向量上的投影的绝对值求出点B到平面OCD的距离．

解答 解：（1）根据空间直角坐标系得，
A（0，0，0），B（2，0，0），$P（0{，^{\;}}\sqrt{3}{，^{\;}}0）$，$D（-1{，^{\;}}\sqrt{3}{，^{\;}}0）$，
O（0，0，2），M（0，0，1），$N（\frac{3}{2}{，^{\;}}\frac{{\sqrt{3}}}{2}{，^{\;}}0）$，…（2分）
∴$\overrightarrow{MN}=（\frac{3}{2}{，^{\;}}\frac{{\sqrt{3}}}{2}{，^{\;}}-1）$，
$\overrightarrow{OP}=（0{，^{\;}}\sqrt{3}{，^{\;}}-2）$，
$\overrightarrow{OD}=（-1{，^{\;}}\sqrt{3}{，^{\;}}-2）$，…（3分）
设平面OCD的法向量为$\overrightarrow n=（x{，^{\;}}y{，^{\;}}z）$，
则$\overrightarrow n•\overrightarrow{OP}=0$，$\overrightarrow n•\overrightarrow{OD}=0$，
即$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}y-2z=0\\-x+\sqrt{3}y-2z=0\end{array}\right.$，
取$y=\sqrt{3}$，解得$\overrightarrow n=（0{，^{\;}}\sqrt{3}{，^{\;}}\frac{3}{2}）$；…（4分）
$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{n}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-1）•（0，$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$）=0，
∴MN∥平面OCD；…（6分）
（2）设AB与MD所成的角为θ，
∵$\overrightarrow{AB}=（2{，^{\;}}0{，^{\;}}0）$，$\overrightarrow{MD}=（-1{，^{\;}}\sqrt{3}{，^{\;}}-1）$，…（7分）
∴$cosθ=\frac{{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{MD|}}}{{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{MD}|}}=\frac{2}{{2×\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，…（9分）
∴AB与MD所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$；…（10分）
（3）设点B到平面OCD的距离为d，则
d为向量$\overrightarrow{OB}$在向量$\overrightarrow n=（0{，^{\;}}\sqrt{3}{，^{\;}}\frac{3}{2}）$上的投影的绝对值，
由$\overrightarrow{OB}=（2{，_{\;}}0{，^{\;}}-2）$，得
$d=\frac{{|\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{n|}}}{{|\overrightarrow{n|}}}=\frac{3}{{\frac{{\sqrt{21}}}{2}}}=\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$；…（12分）
所以点B到平面OCD的距离为$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．…（14分）

点评 本题主要考查了空间中的平行和垂直关系的应用问题，也考查了建立空间坐标系，利用向量法求夹角和距离的应用问题，是综合性题目．