Question

20．已知点P（x₀，y₀）（x₀≠0）是抛物线x²=2y上的一动点，F为焦点，点M的坐标为（0，1）．
（Ⅰ）求证：以MP为直径的圆截直线$y=\frac{1}{2}$所得的弦长为定值；
（Ⅱ）过点P作x轴的垂线交x轴于点A，过点P作该抛物线的切线l交x轴于点B．问：直线PB是否为∠APF的平分线？请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆的圆心与半径，利用圆的圆心与半径，半弦长满足勾股定理，列出方程即可求证：以MP为直径的圆截直线$y=\frac{1}{2}$所得的弦长为定值；
（Ⅱ）求出函数的导数，得到切线方程，求出B的坐标，求出点B到直线PA的距离为${d_1}=\frac{{|{x_0}|}}{2}$，求直线PF的方程，点B到直线PF的距离为${d_2}=\frac{{|{（{x_0^2-1}）\frac{x_0}{2}+{x_0}}|}}{{\sqrt{{{（{x_0^2-1}）}^2}+{{（{2{x_0}}）}^2}}}}=\frac{{|{x_0}|}}{2}$，推出结果．

解答 解：（Ⅰ）以MP为直径的圆的圆心为$（{\frac{x_0}{2}，\frac{1}{2}{y_0}+\frac{1}{2}}）$，
$|{MP}|=\sqrt{x_0^2+{{（{{y_0}-1}）}^2}}=\sqrt{2{y_0}+{{（{{y_0}-1}）}^2}}=\sqrt{y_0^2+1}$，----------（5分）
所以圆的半径$r=\frac{1}{2}\sqrt{y_0^2+1}$，
圆心到直线$y=\frac{1}{2}$的距离$d=|{\frac{1}{2}{y_0}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}|=|{\frac{1}{2}{y_0}}|$；
故截得的弦长$l=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{\frac{1}{4}y_0^2+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}y_0^2}=1$----------（10分）
（Ⅱ）因为$y=\frac{x^2}{2}，y'=x，{k_l}={y^'}{|_{x={x_0}}}={x_0}$，
所以切线l的方程为$y-\frac{x_0^2}{2}={x_0}（x-{x_0}）$，即$y={x_0}x-\frac{x_0^2}{2}$
令y=0，得$x=\frac{x_0}{2}$，所以点B的坐标为  $B（\frac{x_0}{2}，0）$----------（12分）
点B到直线PA的距离为${d_1}=\frac{{|{x_0}|}}{2}$，
下面求直线PF的方程．
因为$F（0，\frac{1}{2}）$，所以直线PF的方程为$y-\frac{1}{2}=\frac{{\frac{x_0^2}{2}-\frac{1}{2}}}{x_0}（x-0）$，
整理得$（{x_0^2-1}）x-2{x_0}y+{x_0}=0$
所以点B到直线PF的距离为${d_2}=\frac{{|{（{x_0^2-1}）\frac{x_0}{2}+{x_0}}|}}{{\sqrt{{{（{x_0^2-1}）}^2}+{{（{2{x_0}}）}^2}}}}=\frac{{|{x_0}|}}{2}$，
所以d₁=d₂
所以直线PB是∠APF的平分线----------（15分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，函数的导数以及切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．