Question

9．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为$\frac{4}{3}$，则球O的表面积为（　　）

• A． $\frac{32}{3}π$
• B． 16π
• C． 144π
• D． 288π

Answer 1

分析 当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，利用三棱锥O-ABC体积的最大值为$\frac{4}{3}$，求出半径，即可求出球O的表面积．

解答 解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V_O-ABC=V_C-AOB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{R}^{2}×R=\frac{4}{3}$，
故R=2，则球O的表面积为4πR²=16π，
故选B．

点评 本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大是关键．