Question

8．在棱长为2的正方体中，
（1）求异面直线BD与B₁C所成的角
（2）求证：平面ACB₁⊥平面B₁D₁DB．

Answer 1

分析 （1）连接B₁D₁，CD₁，由B₁D₁∥BD，可得∠CB₁D₁为异面直线BD与B₁C所成的角（或补角），运用等边三角形的定义，即可得到所求角；
（2）设AC和BD相交于O，连接OB₁，由正方形对角线垂直和等边三角形的性质，可得AC⊥平面B₁D₁DB，再由面面垂直的判定定理，即可得证．

解答 解：（1）连接B₁D₁，CD₁，
可得△C₁BD₁为等边三角形，
由B₁D₁∥BD，
可得∠CB₁D₁为异面直线BD与B₁C所成的角（或补角），
由∠CB₁D₁=60°，
可得异面直线BD与B₁C所成的角为60°；
（2）证明：设AC和BD相交于O，
连接OB₁，
由正方形ABCD可知AC⊥BD，
△ACB₁为等边三角形，O为AC的中点，
可得AC⊥OB₁，
BD∩OB₁=O，BD?平面B₁D₁DB，OB₁?平面B₁D₁DB，
即有AC⊥平面B₁D₁DB，
又AC?平面ACB₁，
则平面ACB₁⊥平面B₁D₁DB．

点评 本题考查空间异面直线所成角的求法，面面垂直的判定，注意运用定义法和线面垂直的判定定理，考查推理和运算能力，属于中档题．