Question

12．已知函数f（x）=lg$\frac{x+5}{x-5}$．
①求f（x）的定义域；　　
②判断f（x）的奇偶性；　
③求f^-1（x）；
④求使f（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用对数定义得出$\frac{x+5}{x-5}$＞0求解，
（2）根据求函数定义判断．
（3）利用反函数定义求解得出${10^y}=\frac{x+5}{x-5}$∴${f^{-1}}（x）=\frac{{5（{{10}^x}+1）}}{{{{10}^x}-1}}（x≠0）$
（4）根据函数单调性转化为不等式求解，注意定义域的限制．

解答 解：（1）∵$\frac{x+5}{x-5}＞0$∴定义域为{x|x＞5或x＜-5}；
（2）$f（-x）=lg\frac{-x+5}{-x-5}=lg\frac{x-5}{x+5}=lg{（\frac{x+5}{x-5}）^{-1}}=-lg\frac{x+5}{x-5}=-f（x）$
∴f（x）为奇函数；
（3）∵${10^y}=\frac{x+5}{x-5}$∴${f^{-1}}（x）=\frac{{5（{{10}^x}+1）}}{{{{10}^x}-1}}（x≠0）$
（4）f（x）＞0，
$\frac{x+5}{x-5}$＞0∴定义域为{x|x＞5或x＜-5}
∴$\frac{x+5}{x-5}$＞1，解得x＞5．
∴x＞5

点评 本题综合考察了对数函数的定义，单调性，不等式的运用，属于较简单的综合题目．