Question

2．已知函数f（x）=$\frac{3{x}^{2}+ax}{{e}^{x}}$（a∈R）在[4，+∞）上是减函数，则a的取值范围为[-8，+∞）．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系转化为在[4，+∞）上f′（x）≤0恒成立，利用换元法结合函数单调性的性质进行求解即可．

解答 解：函数的导数为f′（x）=$\frac{（6x+a）{e}^{x}-（3{x}^{2}+ax）{e}^{x}}{{（e}^{x}）^{2}}$=$\frac{-3{x}^{2}-ax+6x+a}{{e}^{x}}$=$\frac{-3{x}^{2}+（6-a）x+a}{{e}^{x}}$，
若f（x）在[4，+∞）上是减函数，
则f′（x）≤0恒成立，
即-3x²+（6-a）x+a≤0，在[4，+∞）上恒成立，
即-3x²+6x+（1-x）a≤0[4，+∞）上恒成立，
即a≥$\frac{3{x}^{2}-6x}{1-x}$，
令x-1=t，则t≥3，且x=t+1，
则$\frac{3{x}^{2}-6x}{1-x}$=$\frac{3（t+1）^{2}-6（t+1）}{-t}$=$\frac{3{t}^{2}-3}{-t}$=-3t+$\frac{3}{t}$，
则函数y=3t+$\frac{3}{t}$则t≥3上为减函数，
∴-3t+$\frac{3}{t}$≤-3×3+1=-8，
则a≥-8，
故答案为：[-8，+∞）．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，求函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系，转化为不等式恒成立问题是解决本题的关键．