Question

7．已知函数f（x）=2sinωx•cosωx+2bcos²ωx-b（其中b＞0，ω＞0）的最大值为2，直线x=x₁、x=x₂是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{2}$．
（1）求b，ω的值；
（2）若x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$），求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，根据最小正周期求出ω，再根据最大值求出b的值．
（2）根据x的范围确定函数值域．

解答 解：（1）f（x）=2sinωx•cosωx+2bcos2ωx-b=$\sqrt{1+{b}^{2}}$sin（2ωx+φ）（其中tanφ=b），
由题意可得，函数f（x）的周期 T=2×$\frac{π}{2}$=π，
再由函数的解析式可得周期T=$\frac{2π}{2ω}$=π，所以ω=1．
再由函数的最大值为$\sqrt{1+{b}^{2}}$=2，可得 b=±$\sqrt{3}$，
因为b＞0，所以b=$\sqrt{3}$；
（2）f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
设2x+$\frac{π}{3}$=t，则y=2sint．
∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$），
∴t∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴y∈[-$\sqrt{3}$，2]，
∴函数f（x）的值域是[-$\sqrt{3}$，2]．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，属于中档题．