Question

12．椭圆的两焦点分别为F₁（-4，0），F₂（4，0），过F₁作弦AB，且△ABF₂的周长为20，则此椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

Answer 1

分析 由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）．根据过F₁作弦AB，且△ABF₂的周长为20，则4a=20，解得a，又c=4，则$b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，即可得出．

解答 解：由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）．
∵过F₁作弦AB，且△ABF₂的周长为20，则4a=20，解得a=5，
又c=4，则$b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=3．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．