Question

17．若函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R）有极值点，则导函数f′（x）的图象可能是（　　）

• A． ①③
• B． ②③
• C． ①②④
• D． ②④

Answer 1

分析 由若函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R）有极值点，极值点为f（x₀），则函数f′（x）有零点，且在零点左右两侧异号，根据函数图象可知：③f′（x₀）=0，但x＞x₀，x＜x₀，恒有f′（x₀）＞0，①②④满足函数f′（x）有零点，且在零点左右两侧异号，即可求得答案．

解答 解：若函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R）有极值点，极值点为f（x₀），
则函数f′（x）有零点，且在零点左右两侧异号，
由函数图象可知：③f′（x₀）=0，
但x＞x₀，x＜x₀，恒有f′（x₀）＞0，
故③不正确，
①②④满足函数f′（x）有零点，且在零点左右两侧异号，
故选C．

点评 本题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调性及极值的充要条件，考查数形结合思想，属于基础题．