Question

6．关于x的方程$\sqrt{3}$cosx+sinx-a=0在区间[0，π]上恰有两个不等实根α，β，则α+β的值为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由题意可得，在区间[0，π]上，函数y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的图象和直线y=$\frac{a}{2}$有2个交点，结合图象可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\frac{a}{2}$＜1．求得两个实根的和．

解答 解：方程$\sqrt{3}$cosx+sinx-a=0，即sin（x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{a}{2}$，
再根据方程在区间[0，π]上有且只有两个不同的实根，
可得在区间[0，π]上，函数y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的图象和直线y=$\frac{a}{2}$有2个交点，
结合图象可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\frac{a}{2}$＜1．
所以α+β=2×$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$．
故答案是：$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的图象和性质，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．