Question

18．若△ABC为等腰三角形，∠ABC=$\frac{2}{3}$π，则以A，B为焦点且过点C的椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可知：设AB=BC=1，假设AB在x轴上，设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），由余弦定理可知：丨AC丨²=3，则丨AC丨=$\sqrt{3}$，2a=$\sqrt{3}$+1，a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，2c=1，c=$\frac{1}{2}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}$=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：设AB=BC=1，假设AB在x轴上，设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由余弦定理可知：丨AC丨²=丨AB丨²+丨BC丨²-2丨AB丨•丨BC丨•cosB=1+1-2×1×1×（-$\frac{1}{2}$）=3
∴丨AC丨=$\sqrt{3}$，
∵以A、B为焦点的椭圆经过点C，
∴2a=$\sqrt{3}$+1，a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，2c=1，c=$\frac{1}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}$=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$．

点评 本题考查余弦定理的运用，考查椭圆的几何性质及标准方程的应用，属于基础题．