Question

13．已知函数f（x）=x³+3|x-a|（a＞0）．
（1）当a=1时，曲线y=f（x）上P点处的切线与直线x-3y-2=0垂直，求P点的坐标；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）利用导数的几何意义，求解斜率判断即可；
（2）求解导数f′（x）=3x²+3＞0，根据导数与函数单调性的关系判断即可，注意分类讨论思想的运用．

解答 解：（1）∵直线x-3y-2=0的斜率为$\frac{1}{3}$，
∴切线的斜率为-3．
由f（x）=x³+3|x-1|得：
当x≥1时，f（x）=x³+3x-3，f′（x）=3x²+3=-3不成立，∴切线不存在；
当x＜1时，f（x）=x³-3x+3，f′（x）=3x²-3=-3，
∴x=0，∴P点的坐标为（0，3）．                       
（2）当x≥a时，f（x）=x³+3x-3a，f′（x）=3x²+3＞0，
∴f（x）单调递增．                        
当x＜a时，f（x）=x³-3x+3a，
f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
若0＜a≤1，f′（x）=0时，x=-1；f′（x）＞0时，x＜-1；f′（x）＜0时，-1＜x＜a；
若a＞1，f′（x）=0时，x=±1；f′（x）＞0时，x＜-1或1＜x＜a；f′（x）＜0时，-1＜x＜1．
综上可得：当0＜a≤1时，f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（a，+∞），单调递减区间为（-1，a）；
当a＞1时，f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞），单调递减区间为（-1，1）．

点评 本题综合考查了导数的几何意义，导数在单调性中的运用，分类讨论等思想的运用，综合运用知识解决问题的能力．