Question

8．请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/m²，1百元/m²，设圆锥母线与底面所成角为θ，且θ∈（0，$\frac{π}{4}$），问当θ为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：百元）最少？并求出此时圆锥的高度．

Answer 1

分析 设该仓库的侧面总造价为y，运用圆柱和圆锥的侧面积公式，结合条件，可得函数解析式，求出导数，极值点也为最值点，即可得到结论．

解答 解：设该仓库的侧面总造价为y，
则$y=[{2π×5×5（1-tanθ）}]×1+[{\frac{1}{2}×2π×5×\frac{5}{cosθ}}]×4$=$50π（{1+\frac{2-sinθ}{cosθ}}）$，（6分）
由$y'=50π（{\frac{2sinθ-1}{{co{s^2}θ}}}）=0$，得$sinθ=\frac{1}{2}$，$θ∈（{0，\frac{π}{4}}）$，
所以$θ=\frac{π}{6}$，（10分）
列表：

θ	$（{0，\frac{π}{4}}）$	$\frac{π}{6}$	$（{\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}）$
y'	-	0	+
y	↘	极小值	↗

所以当$θ=\frac{π}{6}$时，侧面总造价y最小，此时圆锥的高度为$\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$m．（14分）

点评 本题考查函数模型在实际问题中的应用，考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理运算能力，属于中档题．