Question

16．直线y=$\frac{1}{2}$x+1过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点和一个顶点，则椭圆的离心率为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由直线y=$\frac{1}{2}$x+1，令x=0，可得y=1；令y=0，可得x=-2，可得椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点和一个顶点，进而得出离心率．

解答 解：由直线y=$\frac{1}{2}$x+1，令x=0，可得y=1；令y=0，可得x=-2，
可得直线与坐标轴的交点（0，1），（-2，0）．
由直线过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点和一个顶点，
∴c=2，b=1，a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了直线与坐标轴的交点、椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．