Question

11．设函数f（x）=e^x（x²-x+1）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[-1，1]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，函数的导数，利用导函数的符号，求解函数的单调区间．
（2）利用（1）的结果，直接求解函数的最值即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），…（1分）
f′（x）=e^x （x²-x+1）+e^x （2x-1）=e^x （x²+x）． …（3分）
由x²+x=0得x=-1，x=0，又e^x＞0，
∴若x＜-1，则f′（x）＞0；若-1＜x＜0，则f′（x）＜0；若x＞0，则f′（x）＞0．
∴f（x）的增区间为（-∞，-1）和（0，﹢∞），减区间为（-1，0）．  …（8分）
（2）由（1）知f（x）在[-1，1]上的最小值为f（0），
∴[f（x）]_min=f（0）=1，∴当m＜1时，不等式f（x）＞m恒成立．
即实数m的取值范围是（-∞，1）．  …（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及闭区间上的函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．