Question

1．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且过点A（0，1），
（1）求椭圆的方程；
（2）过点A作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于点M，N（M，N不与点A重合）．直线MN是否过定点？若过定点，则求出定点坐标；若不过定点，则请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，过点A（0，1），则b=1，椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，即可求得a²=3，求得椭圆的方程；
（2）由M，N不与点B重合，所以直线AM的斜率存在，且不为零，设AM的斜率为k，则AN的斜率为-$\frac{1}{k}$，直线AM方程：y=kx+1，代入椭圆方程．求得M和N的坐标，即可求得直线MN的直线方程，直线方程过过定点（0，-$\frac{1}{2}$）．

解答 解：（1）由椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，过点A（0，1），则b=1，
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得：a²=3，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；…（4分）
（2）由M，N不与点B重合，所以直线AM的斜率存在，且不为零．…（5分）
设AM的斜率为k，则AN的斜率为-$\frac{1}{k}$．
直线AM方程：y=kx+1，
直线AN方程：y=-$\frac{1}{k}$x+1．
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3k²+1）x²+6kx=0．…（7分）
由韦达定理定理可知：x_M+0=-$\frac{6k}{3k^2+1}$，
∴点M横坐标x_M=-$\frac{6k}{3k^2+1}$，纵坐标y_M=k•x_M+1=$\frac{1-3k^2}{3k^2+1}$．…（9分）
用-$\frac{1}{k}$替换k可得点N横坐标x_N=$\frac{6k}{k^2+3}$，纵坐标y_N=$\frac{k^2-3}{k^2+3}$．…（12分）
直线MN方程：y=$\frac{k^2-1}{4k}$x-$\frac{1}{2}$．…（15分）
由此，可知，过定点（0，-$\frac{1}{2}$）．…（16分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及直线方程的应用，考查计算能力，属于中档题．