Question

16．已知函数f（x）=e^x-kx，x∈R，k为常数，e是自然对数的底数．
（1）当k=e时，证明f（x）≥0恒成立；
（2）若k＞0，且对于任意x＞0，f（x）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）k=e时，f（x）=e^x-ex，x∈R，f′（x）=e^x-e，令f′（x）=e^x-e=0，解得x=1，可知：函数f（x）在x=1时取得极小值，即最小值，而f（1）=0．即可证明．
（2）f′（x）=e^x-k，k＞0，令f′（x）=e^x-k=0，解得x=lnk，对k分类讨论：①k∈（0，1]时，lnk≤0，利用单调性可得：f（x）＞f（0）=1＞0恒成立．②k∈（1，+∞）时，lnk＞0，可得函数f（x）在x=lnk时取得极小值，即最小值，因此f（lnk）＞0．解得1＜k＜e．即可得出k的求值范围．

解答 （1）证明：k=e时，f（x）=e^x-ex，x∈R，f′（x）=e^x-e，令f′（x）=e^x-e=0，解得x=1，
∴x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；∴x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴函数f（x）在x=1时取得极小值，即最小值，f（1）=0．
∴f（x）≥f（1）=0，因此当k=e时，f（x）≥0恒成立．
（2）解：f′（x）=e^x-k，k＞0，
令f′（x）=e^x-k=0，解得x=lnk，
①k∈（0，1]时，lnk≤0，因此x＞0，令f′（x）=e^x-k＞0，此时函数f（x）单调递增，
∴f（x）＞f（0）=1＞0恒成立．
②k∈（1，+∞）时，lnk＞0，
因此x＞lnk，令f′（x）＞e^lnk-k=k-k＞0，此时函数f（x）单调递增；
0＜x＜lnk时，f′（x）＜k-k=0，此时函数f（x）单调递减．
∴函数f（x）在x=lnk时取得极小值，即最小值，因此f（lnk）=k-klnk=k（1-lnk）＞0．
解得1＜k＜e．
综上①②可得：实数k的取值范围是（0，e）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、解不等式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．