Question

11．设函数y=f（x）（x∈R）的导函数为y=f′（x），且f（x）=f（-x），f′（x）＜f（x）．则下列三个数：a=ef（2），b=f（3），c=e²f（-1）从小到大排列为b＜a＜c．（e为自然对数的底数）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=e^-xf（x），利用导数得出其单调性，及利用f（-x）=f（x）即可得出．

解答 解：构造函数g（x）=e^-xf（x），
∵f′（x）＜f（x），则g′（x）=-e^-xf（x）+e^-xf′（x）=e^-x（f′（x）-f（x））＜0．
∴函数g（x）在R上单调递减．
∴e^-3f（3）＜e^-2f（2）＜e^-1f（1），又f（-1）=f（1），
∴f（3）＜ef（2）＜e²f（1）=e²f（-1）．
故三个数：a=ef（2），b=f（3），c=e²f（-1）从小到大依次排列为：f（3），ef（2），e²f（-1）．
故答案为：b＜a＜c．

点评 本题考查了函数的单调性应用，恰当构造函数g（x）=e^-xf（x），熟练掌握利用导数研究函数单调性、奇偶性是解题的关键．