Question

1．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（1，0）和点B（-1，0），|$\overrightarrow{OC}$|=1，且∠AOC=x，其中O为坐标原点．
（1）若x=$\frac{3}{4}$π，设点D为线段OA上的动点，求|$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$|的最小值；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，向量$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{n}$=（1-cosx，sinx-2cosx），求$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设D（t，0）（0≤t≤1），根据向量的数量积的运算化简得到|$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$|²=（t-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，（0≤t≤1），利用二次函数的性质求得它的最小值．
（2）根据向量的数量积的运算化简得到$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，再利用正弦函数的定义域和值域 求出它的最值

解答 解：（1）设D（t，0）（0≤t≤1），又点C（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
∴$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$+t，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴|$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$|²=t²-$\sqrt{2}$t+1=（t-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，（0≤t≤1），
∴当t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，|$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$|取得最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）由题意得：点由题意得C（cosx，sinx），
$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{BC}$=（cosx+1，sinx），$\overrightarrow{n}$=（1-cosx，sinx-2cosx），
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=（cosx+1）（1-cosx）+sinx（sinx-2cosx）
=1-cos²x+sin²x-2sinxcosx=1-cos2x-sin2x=-$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴1-$\sqrt{2}$≤-$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1≤2，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$的取值范围为[1-$\sqrt{2}$，2]

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．