Question

13．已知函数f（x）=e^mx-lnx-2．
（1）若m=1，证明：存在唯一实数t∈（$\frac{1}{2}$，1），使得f′（t）=0；
（2）求证：存在0＜m＜1，使得f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）m=1时，化简函数f（x）=e^x-lnx-2，求出函数的导数，判断函数的单调性，通过f′（$\frac{1}{2}$）＜0，f′（1）＞0，利用零点判定定理证明即可．
（2）求出f′（x）=me^mx-$\frac{1}{x}$=m（e^mx-$\frac{1}{mx}$），利用由0＜m＜1得f′（x）在（0，+∞）上单调递增，由（1）得mx₀=t时，f′（x₀）=0，求出函数单调性以及最值，然后证明即可．

解答 证明：（1）m=1时，f（x）=e^x-lnx-2，f′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，x＞0．
显然f′（x）在（0，+∞）上单调递增，又f′（$\frac{1}{2}$）＜0，f′（1）＞0，
故存在唯一实数t∈（$\frac{1}{2}$，1），使得f′（t）=0．…（4分）
（2）f′（x）=me^mx-$\frac{1}{x}$=m（e^mx-$\frac{1}{mx}$），
由0＜m＜1得f′（x）在（0，+∞）上单调递增，
由（1）．得mx₀=t时，f′（x₀）=0，
所以f（x）在（0，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，
即f（x）的最小值为f（x₀）=f（$\frac{t}{m}$）=e^t-lnt+lnm-2，
∵e^t-$\frac{1}{t}$=0，∴e^t=$\frac{1}{t}$，t=-lnt．
于是f（x₀）=f（$\frac{t}{m}$）=$\frac{1}{t}$+t+lnm-2，所以当lnm＞2-（$\frac{1}{t}$+t）时，f（x）＞0．
取k=2-（$\frac{1}{t}$+t）＜0，故m∈（e^k，1）时成立．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．