Question

3．设函数f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在0＜x≤$\frac{π}{3}$的条件下，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数f（x）的最小正周期．
（2）利用定义域和值域，求得在0＜x≤$\frac{π}{3}$的条件下，求f（x）的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1=2sin （2x+$\frac{π}{6}$）+1，
所以，函数f（x）的最小正周期为π；
（2）∵0＜x≤$\frac{π}{3}$时，∴$\frac{π}{6}$＜2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，故当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$时 函数取得最小值为2×$\frac{1}{2}$+1=2，
故当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数取得最大值为2×1+1=3，故f（x）的值域是[2，3]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．