Question

13．已知函数f（x）=ax²+2（a-1）x-2lnx．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，化简函数求出导数，求出斜率，然后求解切线方程．
（2）求出函数f（x）的定义域是（0，+∞）．通过当a＞0时，求出极值点，判断函数的单调性，求出函数的最值，即可．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x²-2lnx，f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$．…（1分）
因为f′（1）=0，f（1）=1，切点为（1，1），切线斜率为0，
所以切线方程是y=1．…（4分）
（2）函数f（x）=ax²+2（a-1）x-2lnx的定义域是（0，+∞）．
当a＞0时，f′（x）=2ax+2（a-1）-$\frac{2}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+2（a-1）x-2}{x}$（x＞0），
令f′（x）=0，即f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}+2（a-1）x-2}{x}$=$\frac{2（x+1）（ax-1）}{x}$=0，
所以x=-1（舍）或x=$\frac{1}{a}$．…（8分）
当0＜$\frac{1}{a}$≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1），由f（1）=3a-2=1，得a=1；
当1＜$\frac{1}{a}$＜e，即$\frac{1}{e}＜a＜1$时，f（x）在（1，$\frac{1}{a}$）上单调递减，在（$\frac{1}{a}$，e）上单调递增，
∴f（x）在[1，e]上的最小值是f（$\frac{1}{a}$），由$f（\frac{1}{a}）=\frac{1}{a}+\frac{{2（{a-1}）}}{a}-2ln\frac{1}{a}=1$，得$ln\frac{1}{a}=\frac{a-1}{2a}$，
∵$ln\frac{1}{a}＞0$，$\frac{a-1}{2a}＜0$，∴当$\frac{1}{e}＜a＜1$时，f（x）在区间[1，e]上的最小值不为1；
当$\frac{1}{a}$≥e，即$a≤\frac{1}{e}$时，f（x）在（1，e）上单调递减，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e），
由f（e）=ae²+2（a-1）e-2=1，得$a=\frac{2e+3}{{{e^2}+2e}}$，
∴$a-\frac{1}{e}=\frac{2e+3}{{{e^2}+2e}}-\frac{1}{e}=\frac{{2{e^2}+3e-{e^2}-2e}}{{e（{{e^2}+2e}）}}=\frac{{{e^2}+e}}{{e（{{e^2}+2e}）}}＞0$，即$a＞\frac{1}{e}$，
∴当$a≤\frac{1}{e}$时，f（x）在区间[1，e]上的最小值不为1．
综上可知，当a=1时，函数f（x）在区间[1，e]上的最小值为1．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．