Question

4．已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，AB=2PA，E是线段BC的中点．
（Ⅰ）求异面直线PE和CD所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求平面PAE与平面PCD所成锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点F，使得CF∥平面PAE，并给出证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AE⊥BC，AE⊥AD，PA⊥AE，PA⊥AD，以AE、AD、AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PE和CD所成的角的余弦值．
（Ⅱ）求出平面PCD的法向量和平面PAE的一个法向量，利用向量法能求出平面PAE与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
（Ⅲ）假设在线段PD上存在一点F，使得CF∥平面PAE．利用向量法求出当F为线段PD中点时，CF∥平面PAE．

解答 解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是∠ABC=60°的菱形，E是BC的中点，
∴AE⊥BC，∴AE⊥AD，
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AE，PA⊥AD，
以AE、AD、AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=2，则B（$\sqrt{3}，-1，0$），E（$\sqrt{3}，0，0$），C（$\sqrt{3}，1，0$），P（0，0，1），
$\overrightarrow{PE}$=（$\sqrt{3}，0，-1$），$\overrightarrow{CD}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），
设异面直线PE和CD所成的角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{PE}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{3}{4}$，
∴异面直线PE和CD所成的角的余弦值为$\frac{1}{4}$．
（Ⅱ）设平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{PC}=（\sqrt{3}，1，-1）$，$\overrightarrow{PD}=（0，2，-1）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}x+y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=2y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，2\sqrt{3}$），
又PD⊥平面PAE，∴$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0）是平面PAE的一个法向量，
设平面PAE与平面PCD所成锐二面角为α，
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴平面PAE与平面PCD所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（Ⅲ）假设在线段PD上存在一点F，使得CF∥平面PAE．
∵$\overrightarrow{AD}$⊥平面PAE，∴$\overrightarrow{AD}⊥\overrightarrow{CF}$，
设$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PD}=（0，2λ，-λ）$，0≤λ≤1，
则$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{PF}-\overrightarrow{PC}$=（-$\sqrt{3}$，2λ-1，-λ+1），
则$\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{AD}$=4λ-2=0，解得$λ=\frac{1}{2}$．
∴当F为线段PD中点时，CF∥平面PAE．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点的位置的确定与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．