Question

16．已知椭圆的焦点分别为F₁（-2$\sqrt{2}$，0）、F₂（2$\sqrt{2}$，0），长轴长为6，设直线x-y+2=0交椭圆于A、B两点
（1）求椭圆的方程；
（2）求线段AB的中点坐标．

Answer 1

分析 （1）椭圆的焦点F₁（-2$\sqrt{2}$，0）、F₂（2$\sqrt{2}$，0），焦点在x轴上，设椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），c=2$\sqrt{2}$，a=3，b²=a²-c²=9-8=1，即可求得椭圆的方程；
（2）由（1）可知，将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理可知x₁+x₂=-$\frac{18}{5}$，根据中点坐标公式求得x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{9}{5}$，则y₀=x₀+2=$\frac{1}{5}$，即可求得线段AB的中点坐标．

解答 解：（1）由题意可知：椭圆的焦点F₁（-2$\sqrt{2}$，0）、F₂（2$\sqrt{2}$，0），焦点在x轴上，
设椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），c=2$\sqrt{2}$，a=3，
b²=a²-c²=9-8=1，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）可知：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消y整理得：10x²+36x+27=0，
由△=36²-4×10×27=216＞0，
∴直线与椭圆有两个不同的交点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点E（x₀，y₀），
则x₁+x₂=-$\frac{18}{5}$，
由中点坐标公式可知：x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{9}{5}$，y₀=x₀+2=$\frac{1}{5}$，
故线段AB的中点坐标为（-$\frac{9}{5}$，$\frac{1}{5}$）．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．