Question

6．已知函数f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x．
（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）两角差的余弦公式化简，再根据周期的定义和对称中心的定义即可求出，
（2）根据余弦函数的图象和性质即可求出．

解答 解：（1）：f（x）=（cos⁴x-sin⁴x）-2sinx•cosx=（cos²x-sin²x）-sin2x
=cos2x-sin2x=cos（2x+$\frac{π}{4}$）． 
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π． 
∴2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴x=$\frac{k}{2}$π+$\frac{π}{8}$，k∈Z，
∴对称中心（$\frac{k}{2}$π+$\frac{π}{8}$，0），k∈Z，
（2）令2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+π，k∈Z，
∴kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴f（x）的单调递减区间为[0，$\frac{3π}{8}$]．

点评 本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，二倍角公式，余弦函数的单调性，属于中档题．