Question

16．已知函数f（x）=sinxcosx+$\sqrt{3}{sin^2}$x-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）当x∈[${\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}}$]时，求函数f（x）的值域；
（2）求函数f（x）的单调递增区间和其图象的对称中心．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用求得正弦函数的定义域和值域函数f（x）的值域．
（2）利用正弦函数的单调性，正弦函数的图象的对称性，求得函数f（x）的单调递增区间和其图象的对称中心．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{1}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x=sin（2x-\frac{π}{3}）$，∵x∈[${\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，∴$f（x）∈[{-\frac{1}{2}，1}]$．
（2）由题知，使f（x）单调递增，
则须$2x-\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{2}+2kπ，\frac{π}{2}+2kπ}]，k∈Z，解得x∈[{-\frac{π}{12}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ}]，k∈Z$，
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z，
令2x-$\frac{π}{3}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，故函数的图象的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，0），k∈Z．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．